Relaxation equation of heat conduction and generation - an analytical solution by Laplace transforms method
(Relaksacyjne równanie przewodnictwa cieplnego - rozwiązanie analityczne metodą transformacji Laplace'a)

The relaxation equation of heat conduction and generation permits the relaxation of heat flux (a finite speed of heat propagation) as well as the relaxation of heat source capacity. The parabolic and hyperbolic heat conduction equations can be treated as special cases of the relaxation equation. A one-dimensional case of the relaxation equation, in which the relaxation of heat flux is neglected, is solved analytically by the Laplace transforms method to investigate the effect of the inertia of the heat source on the temperature field. The results of sample calculations show that as the relaxation time of heat source capacity increases from zero to infinity the temperature profile for a given time moves from the parabolic solution with heat generation towards the parabolic solution without heat generation. It is also demonstrated that differences between relaxation solutions and the related parabolic solutions do not vanish with time.

(Relaksacyjne równanie przewodnictwa cieplnego uwzględnia relaksację strumienia ciepła (skończoną predkość rozchodzenia się ciepła) oraz relaksację wydajności wewnętrznego źródła ciepła. Klasyczne paraboliczne i hiperboliczne równania przewodnictwa cieplnego mogą być traktowane jako przypadki specjalne równania relaksacyjnego. Rozwiązano analitycznie, metodą transformacji Laplace'a, jednowymiarowy przypadek równania relaksacyjnego, w którym nie uwzględniono relaksacji strumienia ciepła, aby zbadać wpływ bezwładności źródła ciepła na pole temperatury. Wyniki przykładowych obliczeń wykazały, że przy wzroście czasu relaksacji wydajności wewnętrznego źródła ciepła od zera do nieskończoności krzywe temperatury wyznaczone dla określonego czasu przesuwają się od rozwiązania parabolicznego z generacją ciepła do rozwiązania parabolicznego bez generacji ciepła. Pokazano również, że różnice pomiędzy rozwiązaniami relaksacyjnymi i odpowiadającymi im rozwiązaniami parabolicznymi nie zanikają dla dużych czasów.)